论文标题
椭圆系统均匀化理论的均匀估计值
Uniform Estimates of Resolvents in Homogenization Theory of Elliptic Systems
论文作者
论文摘要
储层计算是预测湍流的有力工具，其简单的架构具有处理大型系统的计算效率。然而，其实现通常需要完整的状态向量测量和系统非线性知识。我们使用非线性投影函数将系统测量扩展到高维空间，然后将其输入到储层中以获得预测。我们展示了这种储层计算网络在时空混沌系统上的应用，该系统模拟了湍流的若干特征。我们表明，使用径向基函数作为非线性投影器，即使只有部分观测并且不知道控制方程，也能稳健地捕捉复杂的系统非线性。最后，我们表明，当测量稀疏、不完整且带有噪声，甚至控制方程变得不准确时，我们的网络仍然可以产生相当准确的预测，从而为实际湍流系统的无模型预测铺平了道路。
In this paper, we study the estimates of resolvents $ R(λ,\mathcal{L}_{\varepsilon})=(\mathcal{L}_{\varepsilon}-λI)^{-1} $, where $$ \mathcal{L}_{\varepsilon}=-\operatorname{div}(A(x/\varepsilon)\nabla) $$ is a family of second elliptic operators with symmetric, periodic and oscillating coefficients defined on a bounded domain $ Ω$ with $ \varepsilon>0 $. For $ 1<p<\infty $, we will establish uniform $ L^p\to L^p $, $ L^p\to W_0^{1,p} $, $ W^{-1,p}\to L^p $ and $ W^{-1,p}\to W_0^{1,p} $ estimates by using the real variable method. Meanwhile, we use Green functions for operators $ \mathcal{L}_{\varepsilon}-λI $ to study the asymptotic behavior of $ R(λ,\mathcal{L}_{\varepsilon}) $ and obtain convergence estimates in $ L^p\to L^p $, $ L^p\to W_0^{1,p} $ norm.
