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dixmier猜想中的一些进展
Some progress in the Dixmier Conjecture
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令$ p $和$ q $，其中$ pq-qp = 1 $，是特征零字段上第一个Weyl代数$ a_1 $的标准发电机。然后，$ a_1 $上的内部派生$ AD（PQ）$的光谱正是整数集。代数$ a_1 $是$ \ mathbb {z} $ - 分级代数，每个$ i $ -component是$ i $ -eigenspace of $ ad（pq）$，其中$ i \ in \ mathbb {z} $。 Dixmier的猜想说，如果某些元素$ z $和$ a_1 $的$ w $满足$ zw-wz = 1 $，则它们会生成$ a_1 $。我们表明，如果$ z $或$ w $没有属于$ AD（PQ）$的负频谱的组件，则dixmier猜想所持。我们对此结果进行了一些概括，以及$ z $和$ w $的其他一些有用标准，以生成$ a_1 $。我们证明的一个重要工具是$ a_1 $中元素的牛顿多边形。
Let $p$ and $q$, where $pq-qp=1$, be the standard generators of the first Weyl algebra $A_1$ over a field of characteristic zero. Then the spectrum of the inner derivation $ad(pq)$ on $A_1$ are exactly the set of integers. The algebra $A_1$ is a $\mathbb{Z}$-graded algebra with each $i$-component being the $i$-eigenspace of $ad(pq)$, where $i\in \mathbb{Z}$. The Dixmier Conjecture says that if some elements $z$ and $w$ of $A_1$ satisfy $zw-wz=1$, then they generate $A_1$. We show that if either $z$ or $w$ possesses no component belonging to the negative spectrum of $ad(pq)$, then the Dixmier Conjecture holds. We give some generalization of this result, and some other useful criterions for $z$ and $w$ to generate $A_1$. An important tool in our proof is the Newton polygon for elements in $A_1$.
