论文标题
在带有规律性假设的Kakeya地图上
On Kakeya maps with regularity assumptions
论文作者
论文摘要
在$ \ mathbb r^n $中，我们使用Kakeya Maps参数化Kakeya集。 Kakeya地图被定义为$$ $ ϕ：b^{n-1}（0,1）\ times [0,1] \ rightarrow \ Mathbb {r}^{n}，（v，t）\ mapsto（c（v） \ mathbb {r}^{n-1} $。关联的Kakeya集定义为$ K：= \ text {im}（ϕ）。 $ 我们表明，如果以下任何一个条件是正确的，那么Kakeya set $ k $具有积极的措施。 （1）$ c $是连续的，$ c | _ {s^{n-2}}} \在c^α（s^{n-2}）$ in c^α（s^{n-2}）$ for某些$α> \ frac {（n-2）n} {（n-1）{（n-1）^2} $， （2）$ c $是连续的，$ c | _ {s^{n-2}} \ in W^{1，p}（s^{n-2}）$对于某些$ p> n-2 $。
In $\mathbb R^n$, we parametrize Kakeya sets using Kakeya maps. A Kakeya map is defined to be a map $$ϕ:B^{n-1}(0,1)\times [0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{n}, (v,t)\mapsto (c(v)+tv,t),$$ where $ c:B^{n-1}(0,1)\rightarrow \mathbb{R}^{n-1}$. The associated Kakeya set is defined to be $ K:=\text{Im} (ϕ). $ We show that the Kakeya set $K$ has positive measure if either one of the following conditions is true. (1) $c$ is continuous and $c|_{S^{n-2}}\in C^α(S^{n-2})$ for some $α>\frac{(n-2)n}{(n-1)^2}$, (2) $c$ is continuous and $c|_{S^{n-2}}\in W^{1,p}(S^{n-2})$ for some $p>n-2$.
