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一个典型的数字极为非正常
A typical number is extremely non-normal
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论文摘要
修复一个正整数$ n \ geq2 $。对于[0,1] $中的实际数字$ x \，\ {0，1，...，...，n-1 \} $中的数字$ i \，令$π_i（x，n）$表示数字$ i $的频率，在第一个$ n $ n $ n $ n $ n $ n $ n $ n $ n $ n $ n $ x $中。众所周知，对于[0，1] $中的典型（从Baire）$ x \中，频率差异为$ n \ rightarrow \ infty $。在本文中，我们为这一结果提供了实质性的加强。也就是说，我们表明，对于典型的$ x \，在[0，1] $中$序列$（π_i（x，n））的任何常规线性平均值也很出色。
Fix a positive integer $N\geq2$. For a real number $x\in[0,1]$ and a digit $i\in\{0, 1,...,N-1\}$, let $Π_i(x, n)$ denote the frequency of the digit $i$ among the first $n$ $N$-adic digits of $x$. It is well-known that for a typical (in the sense of Baire) $x\in[0, 1]$, the frequencies diverge as $n\rightarrow\infty$. In this paper we provide a substantial strengthening of this result. Namely, we show that for a typical $x\in[0, 1]$ any regular linear average of the sequence $(Π_i(x, n))_n$ also diverges spectacularly.
